Расчет параллельного соединения. Параллельное и последовательное соединение резисторов

Понятия и формулы

Последовательно-параллельное, или смешанное, соединение представляет собой сложное соединение трех и более сопротивлений. Результирующее сопротивление при смешанном соединении рассчитывается поэтапно с применением формул расчета сопротивлений при последовательном и параллельном соединениях.

Примеры

Сначала заменим параллельно соединенные сопротивления r2 и r3 результирующим сопротивлением r(2-3):

r(2-3)=(r2∙r3)/(r2+r3)=(10∙20)/30=6,6 Ом.

Результирующее сопротивление всей схемы r=r1+r(2-3)=5+6,6=11,6 Ом.

Рис. 1.

2. Какой ток протекает по цепи (рис. 2) в случаях разомкнутого и замкнутого P? Как изменяется напряжение на сопротивлении r2 в обоих случаях?

Рис. 2.

а) Рубильник разомкнут. Результирующее сопротивление последовательно включенных сопротивлений r1 и r2

r(1-2)=r1+r2=25 Ом.

Ток I(1-2)=U/r(1-2) =100/25=4 А.

Падение напряжения на сопротивлении r2

U2=I(1-2)∙r2=4∙5=20 В.

б) Рубильник замкнут. Результирующее сопротивление параллельно включенных сопротивлений r1 и r3

r(1-3)=(r1∙r3)/(r1+r3)=(20∙10)/(20+10)=200/30=6,6 Ом.

Общее сопротивление всей схемы r=r(1-3)+r2=6,6+5=11,6 Ом.

Ток I=U/r=100/11,6=8,62 А.

Падение напряжения на сопротивлении r2 в этом случае равно: U2=I∙r2=8,62∙5=43,25 В.

Во втором случае ток увеличился в результате подключения параллельного сопротивления R3. Больший ток создает большее на сопротивлении r2.

3. Каким должно быть rд, чтобы две параллельно соединенные лампы на напряжение 120 В и ток 0,2 А могли быть включены в сеть напряжением U=220 В (рис. 3)?

Рис. 3.

Напряжение на лампах должно быть равно 120 В. Остальное напряжение (100 В) падает на дополнительном сопротивлении rд. Через сопротивление rд проходит ток двух ламп I=0,4 А.

По закону Ома rд=Uд/I=100/0,4=250 Ом.

4. Электронные лампы с напряжением накала 1,2 В и током накала 0,025 и 0,05 А подключены последовательно к источнику постоянного тока напряжением 4,5 В. Какими должны быть добавочное сопротивление rд и к лампе, имеющей меньший ток накала (рис. 4)?

Рис. 4.

Сопротивления в схеме должны быть подобраны так, чтобы протекал ток накала второй лампы I=0,05 А. Напряжение на нитях накаливания электронных ламп будет равно 1,2+1,2=2,4 В. Вычтя эту величину из напряжения батареи, получим величину падения напряжения на добавочном сопротивлении rд: Uд=4,5-2,4=2,1 В.

Отсюда дополнительное сопротивление rд=(Uд)/I=2,1/0,05=42 Ом.

Ток накала 0,05 А не должен весь протекать через нить первой электронной лампы. Половина этого тока (0,05-0,025=0,025 А) должна пройти через шунт r. Напряжение на шунте такое же, как и на нити лампы, т. е. 1,2 В. Отсюда сопротивление шунта равно: r=1,2/0,025=48 Ом.

5. Каковы результирующие сопротивление цепи и ток в ней в схеме на рис. 5?

Рис. 5.

Прежде всего, определим результирующее сопротивление параллельно соединенных сопротивлений:

r(1-2)=(r1∙r2)/(r1+r2)=(2∙4)/(2+4)=8/6=1,3 Ом;

r(4-5)=(r4∙r5)/(r4+r5)=(15∙5)/(15+5)=75/20=3,75 Ом.

Результирующее сопротивление цепи равно:

r=r(1-2)+r3+r(4-5)=1,3+10+3,75=15,05 Ом.

Результирующий ток при напряжении U=90,5 В

I=U/r=90,5/15,05=6 А.

Рис. 6.

Результирующая проводимость параллельно включенных сопротивлений

1/r(3-4-5) =1/r3 +1/r4 +1/r5 =1/5+1/10+1/20=7/20 сим;

r(3-4-5)=20/7=2,85 Ом.

Сопротивление цепи из r1 и r2 равно:

r(1-2)=r1+r2=15+5=20 Ом.

Результирующая проводимость и сопротивление между точками А и В соответственно равны: 1/rAB =1/r(3-4-5) +1/r(1-2) =7/20+1/20=8/20 сим; rAB=20/8=2,5 Ом.

Результирующее сопротивление всей схемы r=rAB+r6=2,5+7,5=10 Ом.

Результирующий ток I=U/r=24/10=2,4 А.

Напряжение между точками А и В равно напряжению источника U за вычетом падения напряжения на сопротивлении r6

UAB=U-I∙r6=24-(2,4∙7,5)=6 В.

На это напряжение включено сопротивление r4, поэтому ток, проходящий через него, будет равен:

I4=UAB/r4 =6/10=0,6 А.

Сопротивления r1 и r2 имеют общее падение напряжения UAB, поэтому ток, проходящий через сопротивление r1, равен:

I1=UAB/r(1-2) =6/20=0,3 А.

Падение напряжения на сопротивлении r1

Ur1=I1∙r1=0,3∙15=4,5 В.

7. Каковы результирующее сопротивление и ток в схеме на рис. 7, если напряжение источника U=220 В?

Рис. 7.

Начинаем с контура, расположенного справа от узлов 3 и 3. Сопротивления r7, r8, r9 соединены последовательно, поэтому

r(7-8-9)=r7+r8+r9=30+40+20=90 Ом.

Параллельно этому сопротивлению включено сопротивление r6, поэтому результирующее сопротивление в узле 3 и 3 (разрез a)

ra=(r6∙r(7-8-9))/(r6+r(7-8-9))=(20∙90)/(20+90)=1800/110=16,36 Ом.

Последовательно с сопротивлением ra включены сопротивления r4 и r5:

r(4-5-a)=10+20+16,36=46,36 Ом.

Результирующее сопротивление в узлах 2 и 2 (разрез b)

rb=(r(4-5-a)∙r3)/(r(4-5-a)+r3)=(46,36∙30)/(46,36+30)=1390,8/76,36=18,28 Ом.

Результирующее сопротивление всей цепи r=r1+rb+r2=40+18,28+10=68,28 Ом.

Результирующий ток I=U/r=220/68,28=3,8 А.

Вычисление сопротивления и мощности при параллельном и последовательном соединении резисторов. (10+)

Расчет параллельно / последовательно соединенных резисторов, конденсаторов и дросселей

Параллельное или последовательное соединение (включение) применяется обычно в нескольких случаях. Во-первых , если нет резистора номинала. Во-вторых , если есть потребность получить резистор большей мощности. В-третьих , Если необходимо точно подобрать номинал детали, а устанавливать подстроечник нецелесообразно из соображений надежности. Большинство радиодеталей имеют допуски. Чтобы их компенсировать, например для резистора, последовательно с большим резистором устанавливают меньший в разы. Подбор этого меньшего резистора позволяет получить точно нужное значение сопротивления.

Это хотя и довольно простая тема, но очень важная. Правила всего два: при последовательном соединении складываются сопротивления резисторов, а при параллельном складываются их проводимости, которые, по определению из главы /, есть величины, обратные сопротивлению (см. рис. 5.3). Понять, почему правила именно таковы, можно, если рассмотреть течение токов в обоих случаях - при последовательном соединении ток I через резисторы один и тот же, поэтому падения напряжения на них складываются, что равносильно сложению сопротивлений. При параллельном соеди­нении, наоборот, равны падения напряжений U, а складывать приходится то­ки, что равносильно сложению проводимостей. Если вы не поняли вышесказанное, то посидите над рис. 5.3 с карандашом и бумагой и выведите выражения закона Ома для каждого из случаев - и все станет на свои места.

Рис. 5.3. Последовательное и параллельное соединение резисторов

Из этих определений вытекает несколько практических правил, которые по­лезно заучить:

При последовательном соединении:

Пара резисторов имеет сопротивление всегда больше, чем сопротивле­ние резистора с большим номиналом (правило «больше большего»);

Если номиналы резисторов равны, то суммарное сопротивление ровно вдвое больше каждого номинала;

Если номиналы резисторов различаются во много раз, то общее со­противление примерно равно большему номиналу (типичный слу­чай упоминался в главе 1: в примере на рис. 1.4 мы игнорируем со­противление проводов, так как оно много меньше сопротивления резисторов);

При параллельном соединении:

Пара резисторов имеет сопротивление всегда меньше, чем сопротивле­ние резистора с меньшим номиналом (правило «меньше меньшего»);

Если номиналы резисторов равны, то суммарное сопротивление ровно вдвое меньше каждого номинала;

Если номиналы резисторов различаются во много раз, то общее со­противление примерно равно меньшему номиналу (это также можно проиллюстрировать на примере рис. 1.4, где мы игнорируем наличие вольтметра, включенного параллельно R2, так как его сопротивление намного больше сопротивления резистора).

Знание этих правил поможет вам быстро оценивать схему, не занимаясь ал­гебраическими упражнениями и не прибегая к помощи калькулятора. Даже если соотношение сопротивлений не попадает под перечисленные случаи, результат все равно можно оценить «на глаз» с достаточной точностью. При параллельном соединении, которое представляет большую сложность при расчетах, для такой оценки нужно прикинуть, какую долю меньшее сопро­тивление составляет от их арифметической суммы- приблизительно во столько раз снизится их общее сопротивление по отношению к меньшему. Проверить это легко: пусть одно сопротивление имеет номинал 3,3 кОм, вто­рое - 6,8 кОм. В соответствии с изложенным мы будем ожидать, что общее сопротивление должно быть на 30% меньше, чем 3,3 кОм, то есть 2,2 кОм (3,3 составляет примерно одну треть от суммы 3,3+6,8, то есть общее сопро­тивление должно быть меньше, чем 3,3, на треть от этого значения, равную 1,1 - в результате и получаем 2,2). Если мы проверим результат, получен­ный такой прикидкой в уме, точным расчетом, то мы получим в результате очень близкое значение 2,22 кОм.

В большинстве случаев нам такой точности и не требуется - помните, что и сами сопротивления имеют разброс по номиналу, и в большинстве обычных схем допуски на номиналы стандартных компонентов могут быть довольно велики (по крайней мере, в правильно составленных схемах). Если же схема в некоторых случаях должна все же иметь какие-то строго определенные пара­метры, то с помощью стандартных компонентов вы все равно этого не добье­тесь - параметры будут «гулять» (в пределах допусков, естественно) от дуно­вения ветерка из форточки, и в таких случаях надо применять прецизионные резисторы и конденсаторы, а во времязадающих цепях использовать кварцевые резонаторы. Но составлять схему так, чтобы она теряла работоспособность от замены резистора 1 кОм на резистор 1,1 кОм - не наш метод!