Вектор Умова-Пойнтинга это. Вектор пойнтинга

(в российской научной традиции - вектор Умова -Пойнтинга) - это вектор плотности потока энергии электромагнитного поля . Вектор Пойнтинга S можно определить через векторное произведение двух векторов:

(в системе СГС), (в системе СИ),

где E и H - вектора напряжённости электрического и магнитного полей соответственно.

Этот вектор по модулю равен количеству энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к S , в единицу времени. Своим направлением вектор определяет направление переноса энергии волны.

Поскольку тангенциальные к границе раздела двух сред компоненты E и H непрерывны (см. граничные условия), то вектор S непрерывен на границе двух сред.

Плотность количества движения (импульса) электромагнитного поля определяется вектором . В этом соотношении проявляется материальность электромагнитного поля .

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Вектор Умова-Пойнтинга" в других словарях:

вектор Умова-Пойнтинга - Pointingo vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Poynting vector vok. Poyntingscher Vektor, m rus. вектор Умова Пойнтинга, m pranc. vecteur de Poynting, m; vecteur radiant, m … Fizikos terminų žodynas

- … Википедия

Вектор Пойнтинга (в российской научной традиции вектор Умова Пойнтинга) это вектор плотности потока энергии электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга S можно определить через векторное произведение двух векторов: (в системе СГС), (в системе СИ),… … Википедия

Вектор плотности потока эл. магн. энергии. Назван по имени англ. физика Дж. Г. Пойнтинга (J. H. Poynting). Модуль П. в. равен энергии, переносимой за ед. времени через ед. площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения эл.… … Физическая энциклопедия

Вектор плотности потока энергии физ. поля; численно равен энергии, переносимой в ед. времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока энергии в данной точке. Назван по имени Н. А. Умова, впервые (1874) введшего общее понятие… … Физическая энциклопедия

и их основные характеристики

Электромагнитная волна представляет собой распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле. Механизм образования и распространения электромагнитного излучения разработан в конце 19 века английским физиком Д.К.Максвеллом. В основе этой теории лежит два положения: всякое переменное электрическое поле порождает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле и, наоборот, всякое переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Это второе положение известно как явление электромагнитной индукции.

Т.о. любой проводник, по которому течет переменный ток, любая совокупность электрических зарядов, совершающих колебания, образуют в среде вокруг себя систему взаимопроникающих электрических и магнитных полей, распространяющихся в пространстве – т.е. электромагнитную волну (рис.1).

Расположение силовых линий и векторов напряженностей полей таково, что перпендикулярени каждый из них перпендикулярен вектору скорости волныс . Т.о. электромагнитные волны являются поперечными (рис.2).

Максвелл показал, что уравнение электромагнитной волны математически может быть представлено, как совокупность двух совпадающих по фазе плоских волн: электрической (т.е. волны напряженности поля электрического – Е = f(x ,t)) и магнитной (т.е. волны напряженности поля магнитного – Н = f(x ,t)).

Для распространения электромагнитного излучения не требуется какая-либо среда. Однако, значения параметров этого излучения зависят от свойств среды. Так, например, скорость распространения электромагнитных волн в вакууме составляет около 3·10 8 м/с, а в стекле примерно в 1,5 раза меньше. В общем случае фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ:

, (2)

где

- скорость света в вакууме, ε 0 и μ 0 – диэлектрическая и магнитная постоянные.

Известно, что отношение c / = n – называется абсолютным показателем преломления данной среды, тогда из (2) получим:

. (3)

Не зависящей от условий распространения характеристикой волны является частота – ν. Соответственно, длина волны, т.е. расстояние, на которое перемещается волна за время равное периоду колебаний Т, будет зависеть от свойств среды: λ = Т = / ν , но = c/n , тогда λ n = с/nν. Т.к. с/ν = λ 0 – длине волны данного излучения в вакууме, то

. (4)

Т.о. при переходе из одной среды в другую длина волны на границе будет изменяться скачком.

2. Энергия волны. Вектор умова – пойнтинга

Как и механические, волны электромагнитные, переносят энергию. Энергия электромагнитной волны будет складываться из энергии поля электрического и энергии поля магнитного. Одной из энергетических характеристик поля является объемная плотность энергии – количество энергии , накопленной в единице объема электромагнитного поля. Мгновенные значения электрической и магнитной

составляющих этой величины определяются соотношениями:

w э.п. =

иw м.п. =

, (5)

где Е и Н мгновенные значения напряжённостей полей. Для суммарной объемной плотности энергии поля получим:

w э. м.п. = w э.п. + w м.п. =

+

или после преобразования:

w э. м.п. =

+

=. (6)

Мы уже много раз показывали, что электромагнитное поле обладает энергией. Значит, распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии (подобно тому, как распространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии). Сама возможность обнаружения ЭМВ указывает на то, что они переносят энергию.

Для характеристики переносимой волной энергии русским ученым Н.А. Умовым были введены понятия о скорости и направлении движения энергии, о потоке энергии. Спустя десять лет после этого, в 1884 г., английский ученый Джон Пойнтинг описал процесс переноса энергии с помощью вектора плотности потока энергии .

Введем вектор - приращение плотности электромагнитной энергии, где сама величина w определяется интегралом:

.

Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемных плотностей и электрического и магнитного полей:

.

Учитывая, что , получим, что плотность энергии электрического и магнитного полей в каждый момент времени одинакова, т.е. . Поэтому

Умножив плотность энергии w на скорость υ распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии – поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени :

Так как векторы и взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH (рис. 6.8).

Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Умова–Пойнтинга :

Вектор направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

В сферической электромагнитной волне, излучаемой ускоренно двигающимися зарядами, векторы направлены по параллелям, векторы - по меридианам, а поток энергии - по нормали (рис. 6.9).

Векторы Умова–Пойнтинга зависят от пространства и времени, так как от них зависят модули векторов напряженности электрического и магнитного полей. Поэтому часто пользуются параметром, называемым интенсивностью – модуль среднего значения вектора Умова–Пойнтинга:

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды:

Зависимость интенсивности излучения от направления называют диаграммой направленности. Такая диаграмма для линейного излучателя показана на рис. 6.10.

Как доказал Герц, диполь сильнее всего излучает в направлении перпендикулярном по отношению к собственному направлению.

Ускоренно двигающиеся заряды излучают электромагнитную энергию в окружающее пространство. Вектор направлен вдоль радиуса и убывает обратно пропорционально r 2 . Излучение максимально в направлении, перпендикулярном вектору , и отсутствует вдоль этого вектора. Поэтому диаграмма направленности диполя имеет вид двух симметричных лепестков, как показано на рис. 6.10.

Давление света

Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (эти явления подтверждены опытами Герца), то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны должны оказывать на тела давление. Давление ЭМВ объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля действию силы. Однако, значение этого давления ничтожно мало.

Давление света и электромагнитный импульс настолько малы, что непосредственное их измерение затруднительно. Так, зеркало, расположенное на расстоянии 1 м от источника света в миллион свечей (кандел), испытывает давление 10 - 7 Н/м 2 . Давление излучения Солнца на поверхность Земли равно 4,3×10 - 6 Н/м 2 , а общее давление излучения Солнца на Землю равно 6×10 8 Н, что в 10 13 раз меньше силы притяжения Солнца.

Световое давление было впервые обнаружено и измерено в 1899 г. в Москве русским ученым П.Н. Лебедевым (1866-1912). Его результаты, как и более точные измерения последующих исследователей, согласуются с теорией в пределах ошибок опыта - до 2 %.

На рис. 6.11 изображен прибор, с помощью которого было измерено давление света, – радиометр . Свет, отраженный посеребренной поверхностью каждой лопасти 2, 3, передает вдвое больший импульс по сравнению со светом, поглощенным зачерненной поверхностью 1, 4. Вследствие этого лопасти начинают вращаться по часовой стрелке.

где J – интенсивность света, K – коэффициент отражения.

Опыты Лебедева имели огромное значение для утверждения выводов теории Максвелла о том, что свет представляет собой ЭМВ.

Давление света играет существенную роль в двух противоположных по масштабу областях явлений.

Так, например, гравитационное притяжение верхних слоев звезд к центру в значительной мере уравновешивается силой давления светового потока, идущего от центра звезды наружу. В атомных процессах существенной является отдача, испытываемая возбужденным атомом при излучении им света в силу малости массы атома. Световое давление может создавать ускорение атомов до , где g – ускорение свободного падения.

Впервые гипотеза о световом давлении была высказана в 1619 г. немецким ученым И. Кеплером (1571-1630) для объяснения отклонения хвостов комет, пролетающих вблизи Солнца (рис. 6.12).

Возможными областями физического применения светового давления могут служить процессы разделения смеси изотопов газов, ускорение микрочастиц и создание условий для протекания управляемой термоядерной реакции.

Электромагнитная масса и импульс

Существование давления ЭМВ приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс.

Выражая импульс как (поле в вакууме распространяется со скоростью света с ), получим

Это соотношение между массой и энергией ЭМП является универсальным законом природы, справедливым для любых тел независимо от их внутреннего строения.

Импульс электромагнитного поля, связанного с движущейся частицей, – электромагнитный импульс – оказался пропорциональным скорости частицы υ, что имеет место и в выражении для обычного импульса m υ, где m – инертная масса заряженной частицы. Поэтому коэффициент пропорциональности в полученном выражении для импульса называют электромагнитной массой :

,

(6.4.6)

где е – заряд движущейся частицы, а – ее радиус.

И даже если тело не обладает никакой иной массой, оказывается, что между импульсом и скоростью заряженной частицы существует соотношение:

Это соотношение как бы раскрывает происхождение массы – это электродинамический эффект. Движение заряженной частицы сопровождается возникновением магнитного поля. Магнитное поле сообщает телу дополнительную инертность – при ускорении затрачивается работа на создание магнитного поля, при торможении –работа против затормаживающих сил индукционного происхождения. По отношению к движущемуся заряду электромагнитное поле является средой, неотделимой от заряда.

В общем случае можно записать, что полный импульс равен сумме механического и электромагнитного импульсов; возможно, что другие поля вносят и иные вклады в полную массу частицы, но, определенно, в полной массе есть электромагнитная часть:

, .

Если учесть релятивистские эффекты сокращения длины и преобразования электрических и магнитных полей, то для электромагнитного импульса получается также релятивистски инвариантная формула:

.

(6.4.7)

Таким же образом изменяется релятивистский механический импульс.

Электрическая и магнитная энергия не сосредоточена в тех местах пространства, которые заняты электрическими зарядами и магнитами, но распределена по всем участкам поля. Количество ее, содержащееся в единице объема, всегда пропорционально квадрату электрической или магнитной напряженности поля. Отсюда ясно, что численное изменение векторов электрической и магнитной напряженности, обусловленное движением электрических зарядов и изменением силы токов, протекающих по проводникам, должно вызывать перемещение электрической и магнитной энергии из одних участков поля к другим. Если бы скорость распространения электрических воздействий была бесконечно велика, то смещение электрических зарядов в новое положение мгновенно вызвало бы изменение поля во всем окружающем пространстве. В действительности скорость распространения электрических сил хотя и велика, но конечна; поэтому в изменении картины поля должно наблюдаться запаздывание, тем более значительное, чем большее расстояние отделяет рассматриваемый участок поля от перемещающихся электрических зарядов.

Колебательное движение электрических зарядов (равно как и периодическое изменение токов, протекающих по проводникам) должно сопровождаться, очевидно, перемещением электрической и магнитной энергии в окружающей среде то в одном, то в противоположном направлении; в связи с конечной скоростью распространения электрических и магнитных воздействий эти пульсации энергии приобретают характер волнового процесса: когда в одних участках среды они протекают в прямом направлении, в других, более удаленных участках, до которых импульс нового изменения поля еще не дошел и где картина поля отражает то распределение электрических масс, которое имело место в предыдущий момент времени, они будут протекать в обратном направлении. Чем чаще следуют друг за другом периодические изменения картины поля, тем меньше, очевидно, будет расстояние между участками среды, в которых пульсации энергии совпадают по фазе, т. е. тем короче будет длина волны,

Чтобы решить вопрос, что дадут в среднем эти пульсации энергии, - утечку энергии из проводника, по которому протекает переменный ток, или, наоборот, приток энергии к нему, - необходимо, очевидно, обратиться к расчету. Он может быть выполнен с помощью уравнений Максвелла и впервые был сделан Герцем. Расчет этот показывает, что работа, затрачиваемая на осуществление колебательного движения зарядов, не целиком преобразуется в теплоту, но часть ее всегда уносится в отдаленные участки пространства. Далее, расчет этот показывает, что при прочих равных условиях (в частности, при соразмерных скоростях зарядов или при одинаковых амплитудах токов) количество энергии, излучаемой линейным проводом, пропорционально квадрату частоты колебаний. При обычной в технике сильных токов частоте колебаний (50 в секунду) провода излучают незначительное количество энергии. В случае быстропеременных токов с частотой от нескольких сотен тысяч до нескольких миллионов в секунду количество излучаемой энергии становится весьма значительным.

Излучение энергии током является фактом, который обнаруживается даже в самых примитивных школьных опытах. Например, когда мы замыкаем ток в кольцевом проводнике, близ которого расположена свободно подвешенная магнитная стрелка, то магнитная стрелка, занимавшая до включения тока в кольце положение с севера на юг, после включения тока поворачивается и занимает новое положение. Этот простейший опыт весьма поучителен. Ведь для того, чтобы вывести стрелку из ее положения равновесия и повернуть на оси, необходимо совершить определенную, хотя и небольшую работу. За счет чего совершается эта работа? Очевидно, за счет энергии тока в кольце. В момент установления тока в кольце (в момент возникновения магнитного поля) определенное количество энергии передается от кольца к стрелке и расходуется на преодоление сопротивлений, препятствующих стрелке поворачиваться; следовательно, в момент возникновения тока кольцо излучает энергию.

Излучение энергии происходит только в момент изменения тока в кольце, т. е. в момент ускоренного движения электрических зарядов в проводнике. Чем больше ускорение, сообщаемое электрическим зарядом, тем интенсивнее излучение энергии. Установившееся движение зарядов, т. е. постоянный ток, не сопровождается излучением энергии.

Поле, создаваемое ускоренно (или замедленно) движущимися зарядами, представляет собой неразделимое сочетание электрического и магнитного полей - электромагнитное поле.

Все явления электромагнитной индукции происходят благодаря электромагнитному излучению, которое вызывается изменением скорости движения зарядов (изменением величины или направления тока).

Электромагнитное поле распространяется от места возникновения с совершенно определенной постоянной скоростью, равной скорости света:

Это совпадение не случайно; оно указывает на то, что свет также является электромагнитным явлением.

Если электромагнитное поле распространяется не в вакууме, а в среде с диэлектрической постоянной и магнитной проницаемостью то существует весьма простое соотношение, связывающее скорость распространения поля и с этими константами, полученное Максвеллом:

Таким образом, скорость распространения электромагнитного поля в среде меньше, чем скорость в вакууме.

Так как электромагнитное поле, или, как говорят иначе, электромагнитное возмущение, распространяется из места возникновения с одинаковой скоростью по всем направлениям, то по истечении некоторого времени поле займет некоторый шаровой объем; радиус этого шара будет возрастать со скоростью и. В этом случае электромагнитное возмущение называют шаровым. Поверхность шара, ограничивающую в любой момент объем, занятый электромагнитным полем, называют передней гранью возмущения.

С прекращением ускоренного движения зарядов электромагнитное поле должно уничтожиться, однако это уничтожение поля также не распространяется мгновенно: возникает задняя шаровая грань возмущения, которая распространяется с той же скоростью и.

Таким образом, электромагнитное возмущение разделяет пространство на три части: 1) часть вне передней грани волны, еще не захваченная электромагнитным возмущением, 2) пространство между передней и задней гранями, занятое электромагнитным полем, и 3) пространство, уже пройденное задней гранью, в котором электромагнитного поля уже нет.

Толщина шарового слоя, в котором заключено электромагнитное поле, остается неизменной при увеличении радиуса возмущения, так как обе грани распространяются с одинаковой скоростью.

Вспомним, что плотность энергии для электрического и магнитного полей определяется выражениями

получаем для плотности энергии распространяющегося электромагнитного поля нижеследующую формулу:

Для случая шарового возмущения энергия всего электромагнитного поля, заключенная в шаровом слое между передней и задней гранями, очевидно, остается неизменной. Но объем шарового слоя при постоянстве его толщины изменяется обратно пропорционально квадрату радиуса возмущения; следовательно, в шаровом возмущении плотность энергии изменяется обратно пропорционально квадрату радиуса возмущения.

Но если плотность энергии (пропорциональная квадратам напряженности полей) изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, то очевидно, что в шаровом возмущении напряженности поля изменяются обратно пропорционально первой степени расстояния. Мы видим, что напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитном возмущении убывают с увеличением расстояния гораздо медленнее, чем напряженности стационарных полей. Объясняется это тем, что энергия электромагнитного поля при его распространении остается сконцентрированной в определенном объеме.

Если грани, ограничивающие распространяющееся электромагнитное поле, представляют собой плоскости, то такое электромагнитное возмущение называют плоским. В этом случае объем, ограничивающий распространяющееся поле, остается неизменным, и, следовательно, в плоских электромагнитных волнах остаются неизменными плотность энергии и напряженность поля.

Для вычисления потока энергии, переносимой волнами, Николаем Алексеевичем Умовым (для любых волн) и Пойнтингом (для электромагнитных волн) был введен в рассмотрение особый вектор вектор Умова - Пойнтинга, направленный в сторону распространения волн и численно равный количеству энергии, ежесекундно переносимой сквозь мысленно выделенную площадку в единицу площади, ориентированную перпендикулярно к потоку энергии. Если упомянутая площадка, перпендикулярная к направлению распространения волн, имеет площадь то за время

Рис. 380. Вектор Умова - Пойнтинга.

Мощность излучения определяется средней за период величиной потока вектора Умова - Пойнтинга через замкнутую поверхность, которая охватывает излучающую систему:

Как уже было пояснено в начале параграфа, электромагнитное излучение вызывается ускоренным движением электрических зарядов. При гармоническом колебательном движении зарядов излучаются синусоидальные электромагнитные волны. За каждый период колебания зарядов излучается отдельная электромагнитная волна. Энергия волны определяется величиной движущихся в проводнике зарядов, их ускорением и размерами излучающего

проводника. Амплитуда ускорения при синусоидальном колебательном движении пропорциональна квадрату частоты колебаний. В связи с этим напряженность индуцированного электрического поля (а также и связанного с ним по формуле (10) магнитного поля) будет пропорциональна квадрату частоты. Следовательно, вектор Умова - Пойнтинга и излучаемая мощность будут пропорциональны четвертой степени частоты.

Однако если сопоставлять излучение (как это обычно и делают) при одинаковых амплитудах тока, то будут тем более велики, чем больше при синусоидальном изменении амплитуда т. е. и в этом случае пропорциональны первой степени частоты. Стало быть, излучаемая мощность для одинаковых излучающих систем при одинаковых амплитудах тока пропорциональна (как это уже было отмечено выше) квадрату частоты.

.

Выразим плотность потока энергии через объемную плотность энергии w . Согласно определению, плотность потока энергии волны равна

, (10.1)

где энергия dW = w dtdS n равна энергии, переносимой через попереч-

ное сечение параллелепипеда, dS n , перпендикулярное к направлению распространения волны. Объем данного параллелепипеда равен dtdS n (см. рис. 10.2).

Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением скорости распространения волны, т. е.

. (10.2)

Таким образом, вектор плотности потока энергии волны равен произведению вектора скорости распространения энергии волны на величину ее объемной плотности. Вектор называется вектором Умова .
Из формул (10.18) и (10.19) следует, что объемная плотность энергии и плотность потока энергии синусоидальной волны пропор

Рис. 10.1

циональны квадрату амплитуды волны и квадрату частоты волны. Формула (10.20) справедлива для плотности потока энергии волн любого типа.
^ ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
Волновой пакет. Групповая скорость волны
Все реальные волны отличаются от синусоидальных. Оказывается, что любую несинусоидальную волну можно заменить эквивалентной ей системой синусоидальных волн. Описание волны упрощается, если волна мало отличается от синусоидальной - квазисинусоидальная волна.

Квазисинусоидальная волна представляет собой совокупность синусоидальных волн, частоты которых мало отличаются от некоторой основной частоты . Такую несинусоидальную волну называют группой волн , или волновым пакетом .

Дисперсией. называется зависимость свойства среды (например, скорость распространения волны) от частоты

Рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси ОХ . Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы равны нулю, а частоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к другу:

s 1 = A 0 sin( 1 t – k 1 x ),
s 2 = A 0 sin( 2 t – k 2 x )

Для результирующей волны получим:

s = s 1 + s 2 = 2A 0 cos(t – kx )sin(t – kx ),

Амплитуда А этой волны постоянной не является, а зависит от координаты х и времени:

A = 2A 0 cos(t – kx ).

Выражение для амплитуды волнового пакета также является уравнением плоской синусоидальной волны, которая является волной амплитуды колебаний. Фаза этой волны равна:

Ф A = t – kx .

Скорость и распространения энергии волнового пакета наз. групповой скоростью , которая равна фазовой скорости волны амплитуды. Дифференцируя выражение для Ф А и полагая Ф А = const, получим:

.

В пределе, когда  и Δk стремятся к нулю, получим:

. (10.3)

С учетом того, что

, формула (10.1) примет вид:

. (10.4)

Подставив в (10.2) выражение частоты через фазовую скорость 

, и выполнив дифференцирование, получим:

Формула (10.3) устанавливает соотношение между групповой и фазовой скоростью волн, и получила название формулы Рэлея. Скорость и называется групповой скоростью пакета волн. В случае отсутствия дисперсии волн (d /d  = 0) групповая скорость волн в пакете совпадает с их фазовой скоростью.

Так как скорость группы волн характеризует распространение амплитуды волнового пакета, то групповая скорость определяет скорость распространения энергии волны .

^ Интерференция и дифракция волн. Стоячие волны.
Принцип Гюйгенса.
Интерференцией волн называют явление, которое возникает при наложении двух или нескольких волн и состоящее в устойчивом во времени их взаимном усилении в одних точках пространства и ослаблении в других, в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

^ Интерферировать могут только те волны, которые удовлетворяют следующим условиям:

- волны должны быть синусоидальными,

- частоты колебаний волн должны быть одинаковы, такие волны называются монохроматическими,

- разность фаз интерферирующих волн не зависит от времени, такие волны называются когерентными,

- колебания в волнах совершаются вдоль одного и того же направления.

При интерференции волн отсутствует простое суммирование их энергий, интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между соседними областями среды.
^ Если волна огибает какое-либо препятствие, то за ним также будет наблюдаться интерференционная картина. Такое явление называется дифракцией волны .

Рис. 10.2
На основе наблюдений Гюйгенсом был предложен принцип, который объясняет распространение волны: каждая точка волнового фронта является источником вторичной сферической волны, а огибающая фронтов вторичных волн является фронтом новой волны.

Явления интерференции и дифракции проявляются не только при распространении механических волн, но и световых.
^ Стоячие волны . Уравнение стоячей волны
При отражении от менее плотной среды фаза колебаний не изменяется, а при отражении от более плотной среды фаза изменяется на . В результате сложения падающей и отраженной волны образуется стоячая волна.

Если уравнение падающей волны s 1 = A cos(t – kx ), то при отражении от менее плотной среды уравнение отраженной волны S 2 = A cos(t + kx ). Складывая оба этих уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получим:

s = s 1 + s 2 = 2A cos kx cos t . (10.6)

Поскольку k = 2/, то имеем

. (10.7)

Уравнение (10.4) есть уравнение стоячей волны. Видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты , что и у встречных волн.

Величина

является амплитудой стоячей волны. В точках, в которых выполняется условие

, (n = 0, 1, 2, …), (10.8)

амплитуда колебаний максимальна и равна 2А . Эти точки называются пучностями стоячей волны . Координаты пучностей:

, (n = 0, 1, 2, 3, …). (10.9)

В точках, в которых выполняется условие

, (n = 0, 1, 2, …),

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны . Координаты узлов:

, (n = 0, 1, 2, …). (10.10)

Расстояние между соседними узлами или пучностями равна и называется длиной стоячей волны.

^ Стоячие волны энергии не переносят. В пучностях стоячей волны кинетическая энергия максимальна, а в узлах максимальна потенциальная энергия.
Эффект Доплера
Эффе́кт До́плера - изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника.

Рис. 10.3

Рис. 10.4
Источник волн перемещается налево. Тогда слева частота волн становится выше (больше), а справа - ниже (меньше),

т.е. если источник волн догоняет испускаемые им волны, то длина волны уменьшается. Если удаляется - длина волны увеличивается.
Пусть измеряемая наблюдателем частота звуковых волн , а частота колебаний источника волн - ν 0 Найдем связь между  и ν 0 для равномерного движения точечного источника звука И (рис. 10.2) и наблюдателя Н вдоль соединяющей их прямой линии

Рис. 10.2
Фронты синусоидальных звуковых волн давления перемещаются в направлении распространения этих волн с фазовой скоростью . Поэтому, если источник звука И неподвижен по отношению к среде и в некоторый момент t = 0 вблизи него находится сгущение, то к моменту t = T , где T – период гармонических колебаний источника звука, это сгущение переместится на расстояние T , а вблизи источника образуется новое сгущение. Расстояние T между сгущениями равно длине звуковой волны , возбуждаемой в среде неподвижным источником .

В случае движения источника звука (рис. 10.2) за время T сам источник перемещается вправо на расстояние  1 Т . Поэтому, расстояние между двумя соседними сгущениями, т. е. длина волны , уменьшится на величину  1 Т , а частота ν 1 , регистрируемая неподвижным наблюдателем, соответственно увеличится:

(10.11)

Формула (10.8) объясняет различие высоты тона звукового сигнала приближающегося к наблюдателю и удаляющегося от него источника звука (например, поезда). В первом случае  1 > 0 и ν 1 > ν 0 , а во втором  1 1 0 .

Если наблюдатель также движется со скоростью  2 навстречу источнику звука (рис. 10.2), то число сгущений звуковой волны, регистрируемых наблюдателем за 1 с:

 =  1 + ,

где  =  2 /λ 1 = ( 2 /)ν 1 – дополнительное число сгущений, регистрируемых наблюдателем в результате перемещения за 1 с на расстояние, численно равное его скорости  2 . Таким образом, регистрируемая частота  и частота источника ν 0 связаны соотношением:

. (10.12)

Полученная формула справедлива для встречного движения
источника и наблюдателя. Можно показать, что для произвольного направления движения источника и наблюдателя формула (10.13) для частоты воспринимаемого звука от движущегося источника примет вид:

. (10.13)

Если источник и наблюдатель движутся в направлении распространения скорости звуковой волны, то скорости  1 и  2 в формуле
(10.14) положительны. Если источник и наблюдатель движутся в противоположных направлениях, то эти скорости отрицательны.
^ ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНУЮ ТЕОРИЮ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Ограниченность законов классической механики
С развитием науки обнаружились новые факты, которые не укладывались в рамки классической механики – обнаружено постоянство скорости света . Оказалось, что независимо от скорости движения источников и приемников света скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и равна величине c =2,998 ∙10 8 м/с .

Подверглись радикальному пересмотру ньютоновские представления о пространстве и времени, а также постулаты классической механики - создана “механика больших скоростей” - релятивистской механики .
^ Преобразования Галилея
В основе классической механики лежит принцип относительности Галилея.
Р


ассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К , причем система рис. 10.3
отсчета К  движется относительно системы К с постоянной скоростью . правило сложения скоростей в классической механике .

Продифференцировав соотношение (10.16) по времени, получим

. (10.17)

Из равенства (10.17) следует, что ускорение в инерциальных системах отсчета К и К  одинаково.

Отсюда согласно второму закону Ньютона вытекает, что силы, действующие на тело в инерциальных системах отсчета, также будут одинаковыми. Поэтому, уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Этот вывод является математическим выражением механического принципа относительности Галилея: в любых инерциальных системах отсчета все механические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково.
^ Постулаты Эйнштейна
Эйнштейном были сформулированы постулаты специальной теории относительности, т.е. наиболее бесспорные предположения, принятые без доказательств:

1) в любых инерциальных системах отсчета все физические явления (механические, электромагнитные и др.) при одних и тех же условиях протекают одинаково; иначе говоря, с помощью любых опытов, проведенных в замкнутой системе тел, нельзя обнаружить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно;

^ 2) скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света; она одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета.
Преобразования Лоренца и их следствия
Эйнштейн показал, что в соответствии с двумя постулатами теории относительности связь между координатами и временем в двух инерциальных системах отсчета К и К , изображенных на рис. 10.3, выражается не преобразованием Галилея (10.1), а преобразованием Лоренца :

, (10.18)

, (10.19)

где

.

В основу вывода этих формул было положено условие равноправности всех систем отсчета, согласно которому преобразования должны быть линейными.

^ Из преобразований (10.19), следует, что при  0 c оно совпадает с преобразованиями Галилея.

Рассмотрим следствия из преобразований Лоренца.

а) Одновременность событий в разных системах отсчета.

Пусть в системе ^ К в точках с координатами x 1 и x 2 происходят одновременно два события в момент времени

. Согласно (10.6) в системе К / этим событиям будут соответствовать координаты

Таким образом, длина стержня l , измеренная в системе, относительно которой он движется, отказывается меньше длины l 0 , измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Отметим, что в направлении осей у и z размеры стержня одинаковы во всех системах отсчета.

в) Длительность событий в различных системах.

Пусть в точке, неподвижной относительно системы К , происходит событие длительностью

. Поскольку событие происходит в точке, то

. Относительно системы ^ К точка, в которой происходит событие перемещается со скоростью  0 . Согласно преобразованиям Лоренца началу и концу события в системе К соответствуют моменты времени t 1 и t 2 , которые равны

,

.

Временной интервал между событиями в этой системе равен

.

Обозначим t 2 – t 1 = t . Тогда

. (10.8)

Из (10.8) следует, что t , определенное по часам, движущимся относительно покоящейся системы, больше t 0 , измеренной по часам, неподвижным относительно системы. Согласно (10.8) t 0 t, откуда следует, что движущиеся части идут медленнее, чем покоящиеся часы.

Время t 0 , отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела. Собственное время одинаково во всех инерциальных системах.
^ 10.4 Закон сложения скоростей в релятивистской механике
Положение материальной точки в неподвижной системе координат в каждый момент времени t определяется значением x


,

,

. (10.9)

Если  0 c, то соотношения (10.9) переходят в формулы сложения скоростей в классической механике.

Если тело движется параллельно оси х , его скорость  относительно системы К совпадает с  x и равна:

. (10.10)

Пусть  равна с . Тогда скорость  по формуле (10.10) равна

.

Полученное соотношение утверждает, что скорость тела равна скорости света с , что подтверждает второй постулат Эйнштейна.